一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．

$0 \leqq a \leqq \pi$である$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_0^\pi \sin^3 (x+a) \, dx+\int_0^a \sin x \, dx$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$I(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq a \leqq \pi$における$I(a)$の最大値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=x^3+3x^2-2$のグラフを描け．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^3+3(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^2-2$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=x-\sin 2x$の最大値を求めよ．
(2)円周上を$9$等分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数$y=|\abs{x-1|-2}$のグラフを描け．

累乗根，対数，三角関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を簡単にせよ．
\[ \begin{array}{lll}
① \sqrt[8]{16^2} & & ② \sqrt[3]{4} \div \sqrt{8} \times \sqrt[4]{32} \\
③ \log_3 81 & & ④ (\log_23+\log_49)(\log_34+\log_92)
\end{array} \]
(2)$0^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}-\frac{1}{\sin \theta}=\sqrt{3}$であるとする．

\mon[$(2$-$1)$] $x=\sin \theta \cos \theta$とするとき，$x$に関する$2$次方程式を求めよ．
\mon[$(2$-$2)$] $\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．
\mon[$(2$-$3)$] 次の値を求めよ．
\[ ① \sin \theta \qquad ② \tan \theta \]
\mon[$(2$-$4)$] 次の式の値を求めよ．
\[ ① \frac{1}{\cos {60}^\circ}-\frac{1}{\sin {60}^\circ} \qquad ② \frac{1}{\cos {75}^\circ}-\frac{1}{\sin {75}^\circ} \]

$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，図のように辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$となるようにとる．以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．

\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．

関数$f(x)=\log (\sin x+2) (0<x<2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]

$k$を実数の定数とするとき，下記の問いに答えなさい．

(1)$f(x)=2x^3+x^2-5x+3$，$g(x)=x^4+x^2-(k+1)x+k$とおく．$k$の値が変化するとき，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の個数を調べなさい．
(2)$x$についての方程式$\displaystyle 6 \tan x+\cos x-k \sin x=0 \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．$k$の値が変化するとき，実数解の個数が$2$個であるのは$[$1$]$のときである．また実数解の個数が$1$個であるのは$[$2$]$のときであり，実数解が存在しないのは$[$3$]$のときである．
$[$1$]$，$[$2$]$，$[$3$]$に該当する$k$の条件を答えなさい．