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私立 同志社大学 2016年 第2問$n$を正整数とし，$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を定数として，次の関数$f(x) (x>0)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
\[ f(x)=x^{n+1} \{a \cos (\pi \log x)+b \sin (\pi \log x) \} \]
(2)次の定積分の値をそれぞれ求めよ．
\[ I_n=\int_1^e x^n \cos (\pi \log x) \, dx,\quad J_n=\int_1^e x^n \sin (\pi \log x) \, dx \]
(3)次の極限値をそれぞれ求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_{n+1}}{J_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_n}{I_n} \]
(1)$a,\ b$を定数として，次の関数$f(x) (x>0)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
\[ f(x)=x^{n+1} \{a \cos (\pi \log x)+b \sin (\pi \log x) \} \]
(2)次の定積分の値をそれぞれ求めよ．
\[ I_n=\int_1^e x^n \cos (\pi \log x) \, dx,\quad J_n=\int_1^e x^n \sin (\pi \log x) \, dx \]
(3)次の極限値をそれぞれ求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_{n+1}}{J_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_n}{I_n} \]
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$を考える．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．
私立 明治大学 2016年 第6問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である．また，$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\cos A=[ ]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である．
$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である．また，$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\cos A=[ ]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である．
私立 明治大学 2016年 第1問$(1)$～$(5)$において，$\nagamaruA$，$\nagamaruB$，$\nagamaruC$の値の大小関係を調べ，最大のものと最小のものを答えよ．
(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の，
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値（メジアン） \quad $\nagamaruC$ 最頻値（モード）
(2)$\theta$が第$2$象限の角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$，面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$，中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$，中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき，
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$
(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の，
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値（メジアン） \quad $\nagamaruC$ 最頻値（モード）
(2)$\theta$が第$2$象限の角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$，面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$，中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$，中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき，
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$
私立 大阪薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1$を実数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)$x^{2016}$を$x^2-1$で割った余りを求めると$[イ]$である．
(3)$\cos {28}^\circ+\cos {75}^\circ+\cos {150}^\circ+\cos {208}^\circ+\cos {255}^\circ$の値を求めると$[ウ]$である．
(4)$12707$と$12319$の最大公約数を求めると$[エ]$である．
(5)$2^x=5^y=10$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$の値を求めると$[オ]$である．
(6)点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$と点$\mathrm{B}(6,\ 0)$からの距離の比が$1:3$となる点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めると$[カ]$である．
(1)$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1$を実数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)$x^{2016}$を$x^2-1$で割った余りを求めると$[イ]$である．
(3)$\cos {28}^\circ+\cos {75}^\circ+\cos {150}^\circ+\cos {208}^\circ+\cos {255}^\circ$の値を求めると$[ウ]$である．
(4)$12707$と$12319$の最大公約数を求めると$[エ]$である．
(5)$2^x=5^y=10$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$の値を求めると$[オ]$である．
(6)点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$と点$\mathrm{B}(6,\ 0)$からの距離の比が$1:3$となる点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めると$[カ]$である．
私立 北里大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答えを記せ．
(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき
(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．
(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．
(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき
(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．
(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．
私立 明治大学 2016年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は，$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．
(2)（指定範囲外からの出題だったため，全員正解とした．）
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である．
(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は，$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．
(2)（指定範囲外からの出題だったため，全員正解とした．）
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である．
私立 明治大学 2016年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ア]}{[イ]}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$である．
(2)線分$\mathrm{AR}$を延長し，三角形$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{AR}:\mathrm{AS}=1:t$とすると，$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{[オ]}{[カ]}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$である．
(3)$\angle \mathrm{OAS}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ア]}{[イ]}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$である．
(2)線分$\mathrm{AR}$を延長し，三角形$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{AR}:\mathrm{AS}=1:t$とすると，$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{[オ]}{[カ]}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$である．
(3)$\angle \mathrm{OAS}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．