$\theta$が第$1$象限の角で$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4$のとき，$\sin \theta+\cos \theta$の値を求めよ．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており，$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である．

(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと，$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である．
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である．したがって，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{5}$のとき

$\displaystyle \tan \alpha+\tan 2\alpha=\sqrt{[$35$][$36$]+[$37$][$38$] \sqrt{[$39$][$40$]}}$

$\displaystyle \tan \alpha \tan 2\alpha=\sqrt{[$41$][$42$]}$

となる．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．

次の条件を満たす実数の数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\
b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$i$を虚数単位とし，複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき，$r$と$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$n \geqq 1$に対して，$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき，$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$\theta_n \geqq 0$とする．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ．
(5)$N$を自然数とするとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している．小円の半径は$4$寸，中円の半径は$9$寸であった．このとき，大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
（図は省略）
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている．今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると，弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
\end{mawarikomi}

$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$で，$6 \sin^2 x+\sin x \cos x-2 \cos^2 x=0$が成立しているとき，$-13(\sin 2x+\cos 2x)$の値を求めよ．

関数$y=4(\cos 2x-\cos x)+7 \sin^2 x+3 \cos^2 x$について，最大値を$M$，最小値を$m$としたとき，$|M-m|$の値を求めよ．