「三角形」について
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私立 早稲田大学 2014年 第2問$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，その$x$座標を，それぞれ，$a,\ b,\ c$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．
(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．
(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．
(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．
私立 早稲田大学 2014年 第3問直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$である正六角形の$6$つの頂点から$3$つの頂点を選び三角形を作る．
(1)この三角形が正三角形になる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
(1)この三角形が正三角形になる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
私立 神奈川大学 2014年 第3問$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．
(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．
私立 早稲田大学 2014年 第5問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に
放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$
がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．
(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．
放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$
がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．
(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
私立 京都女子大学 2014年 第2問下の図において，点$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の外心である．点$\mathrm{D}$は$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{BC}$との交点，点$\mathrm{E}$は円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{AB}$との交点である．また，点$\mathrm{F}$は$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$を通る円$\mathrm{O}_2$と，辺$\mathrm{AC}$の延長との交点である．次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．
（図は省略）
(1)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．