次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．
$\displaystyle \cos A=\frac{24}{25}$，$\displaystyle \cos B=\frac{20}{29}$，$c=92$のとき，$\sin A=[ア]$であり，$\sin B=[イ]$である．したがって，$\sin C=[ウ]$，$\cos C=[エ]$となる．これより$a=[オ]$，$b=[カ]$である．

三角形$\mathrm{OAB}$において線分$\mathrm{OA}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{[アイ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$は$3$辺の長さの比が$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}:\mathrm{AB}=5:4:7$で，外接円の半径が$\displaystyle \frac{35 \sqrt{6}}{12}$とする．このとき$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{[サシ]}{[ス]}$であり，また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[セソ] \sqrt{[タ]}$である．
(4)$\alpha,\ \beta$は実数で，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が平行である．ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{C}$と異なるとするとき$\displaystyle \alpha=\frac{[チ]}{[ツ]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[テ]}{[ト]}$である．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{\mathrm{AN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=y \overrightarrow{\mathrm{BM}}$（$x,\ y$は実数）とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-[コ]x) \overrightarrow{a}+\frac{[サ]}{[シ]} x \overrightarrow{b}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$y,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[ス]}{[セ]} y \overrightarrow{a}+(1-[ソ] y) \overrightarrow{b}$である．
(3)$x,\ y$の値はそれぞれ$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チツ]},\ y=\frac{[テ]}{[トナ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPN}$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$\displaystyle \frac{[ニヌ]}{[ネノ]}$倍である．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

$x>0$において，つねに正の値をとる連続な関数$f(x)$がある．$xy$平面において，$0<a<b$をみたすすべての実数$a,\ b$に対して，曲線$y=f(x)$，$x$軸，直線$x=a$および直線$x=b$で囲まれた部分の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \]
であるとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$c>0$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(c,\ f(c))$における接線，$x$軸および$y$軸で囲まれた三角形の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \lim_{c \to \infty}T$を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．

三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$とする．$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線上の点$\mathrm{P}$を考える．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{OP}=1$とする．実数$s,\ t$を使って$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$s,\ t$を求めなさい．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[ク]$～$[サ]$には整数を記入しなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．
(2)直線$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，さらに点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\mathrm{OC}:\mathrm{CP}=3:1$となるならば，$\cos \theta=[オ]$である．
(3)辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{OD}:\mathrm{DB}=1:3$となるようにとる．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$，$\triangle \mathrm{QAC}$，$\triangle \mathrm{OQD}$および四角形$\mathrm{QCBD}$の面積をそれぞれ，$S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$とすると，$S_1:S_2:S_3:S_4=[ク]:[ケ]:[コ]:[サ]$となる．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える．$C$上の点で，第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．