「三角形」について
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（42ページ目：全1576問中411問～420問を表示）
私立 昭和大学 2015年 第3問次の各問に答えよ．
(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．
(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線が円$\mathrm{O}$と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{D}$とする．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$34$]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．
(4)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[$39$] \sqrt{[$40$]}+\sqrt{[$41$]}}{[$42$]}$である．
(5)三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}+[$45$] \sqrt{[$46$]}}{[$47$]}$である．
但し$[$44$]<[$46$]$とする．
(1)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$34$]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．
(4)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[$39$] \sqrt{[$40$]}+\sqrt{[$41$]}}{[$42$]}$である．
(5)三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}+[$45$] \sqrt{[$46$]}}{[$47$]}$である．
但し$[$44$]<[$46$]$とする．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
私立 日本獣医生命科学大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=x$，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．
私立 日本福祉大学 2015年 第4問放物線$y=x^2-8x+15$と直線$y=-2x+4$がある．放物線上を動く点を$\mathrm{P}$とし，直線の$x$切片を点$\mathrm{A}$，$y$切片を点$\mathrm{B}$とした場合，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積$S$の最小値を求めよ．
私立 大阪工業大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|=2$，$\angle \mathrm{COD}={60}^\circ$とするとき，次の空所を埋めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=[オ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}+[カ] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=[キ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}+[ク] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=[ケ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[コ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[サ]$である．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=[オ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}+[カ] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=[キ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}+[ク] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=[ケ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[コ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[サ]$である．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第2問\begin{mawarikomi}{32mm}{
（図は省略）
}
図のような$1$辺の長さ$6$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1$ずつ進む．また点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$3$ずつ進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$11$になる時刻をすべて求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
図のような$1$辺の長さ$6$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1$ずつ進む．また点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$3$ずつ進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$11$になる時刻をすべて求めよ．
\end{mawarikomi}
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=2 \sqrt{3}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．
(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．