平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．


(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\mathrm{AB}=6$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\mathrm{AB}=6$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．

座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．実数$a,\ b$に対し，点$\mathrm{P}(4a,\ 3b)$，点$\mathrm{Q}(4a-4,\ 3b)$，点$\mathrm{R}(4a,\ 3b-3)$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$と三角形$\mathrm{OAB}$の共通部分が六角形となるとき，六角形の面積を$S$とする．次の設問に答えよ．

(1)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を最大とする$a,\ b$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．

次の文章中の$[ア]$から$[ヨ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．

(1)実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数

$f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8$
$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$

を考える．

(i) すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は
\[ a>-[ア] \quad \text{かつ} \quad a \neq [イ] \]
である．
(ii) $g(x)$の最大値は$-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2$である．
(iii) 次の条件$(*)$を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．

$(*)$ \quad 「すべての実数$x$に対して \ $g(x) \leqq b \leqq f(x)$ \ が成り立つ．」

このとき，
\[ a=-[カ] \quad \text{または} \quad a=[キ] \]
であり，$a=-[カ]$のときは$b=-[ク][ケ]$，$a=[キ]$のときは$b=-[コ][サ]$である．

(2)次の条件で定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=-2,\quad \left\{ \begin{array}{lcl}
a_{n+1} &=& 8a_n+b_n \\
b_{n+1} &=& -25a_n-2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき
\[ [シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n) \]
であるので，
\[ b_n={[セ]}^n-[ソ]a_n \]
である．これにより
\[ \frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1 \]
となる．したがって
\[ a_n=n \cdot {[チ]}^{n-\mkakko{ツ}} \]
となる．
(3)平面上に，$\triangle \mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，

$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$
$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$

となっていた．
このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$であるので
\[ \angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ][ネ]}^\circ \]
である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}$から
\[ \angle \mathrm{AOC}={[ヒ][フ][ヘ]}^\circ \]
である．したがって，
\[ \angle \mathrm{BOC}={[ホ][マ][ミ]}^\circ \]
となる．また，
\[ \sin {[ホ][マ][ミ]}^\circ=\frac{\sqrt{[ム]} \left( [メ]+\sqrt{[モ]} \right)}{4} \]
である．したがって，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle [ヤ]+\frac{[ユ] \sqrt{[ヨ]}}{2}$である．

各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その$3$辺の長さを$x,\ y,\ z (x \leqq y \leqq z)$とする．また，$n$を自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．

(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．

(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．

座標平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+ax$は，直線$\ell_1:y=-x$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$で接している．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell_1$と$C$の共有点で$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を通る$C$の接線$\ell_2$と$C$の共有点で点$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線$\ell_3$と$C$の共有点で点$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$[　]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．

(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．

(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．

ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．

(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．

(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．


(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．

(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において点$\mathrm{R}(a,\ b) (a>0,\ b>0)$をとる．$x$軸の正の部分に点$\mathrm{P}$を，$y$軸の正の部分に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{R}$を通るようにとる．以下，$\displaystyle \angle \mathrm{OPQ}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$\theta$および$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$および線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$a=1$，$b=8$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の$3$辺の長さの和を最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値および線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．