原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(6,\ 8)$，点$\mathrm{B}(21,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$について考える．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を$(p,\ q)$とする．$|\displaystyle\frac{2p|{q}}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{CS}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AR}$の長さが線分$\mathrm{AB}$の長さの$m$倍となるとき，$4m$の値を求めよ．

座標平面上における放物線$C:y=x^2-2x+1$と直線$\ell:y=x$の$2$つの交点のうち，$x$座標の値が小さい方の点を$\mathrm{A}(p,\ p)$とする．直線$\ell$上の点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{A}$の間にある点$\mathrm{D}(q,\ q)$を通り$y$軸と平行な直線と放物線$C$との交点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{E}$を通り$x$軸と平行な直線と放物線$C$とのもう$1$つの交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{EF}$の長さを$q$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$q$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，三角形$\mathrm{DEF}$の面積が最大となる$q$の値を求めよ．
(5)$q$が$(4)$で求めた値であるときの三角形$\mathrm{DEF}$の面積を求めよ．

座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$を考える．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．

次の設問の$[　]$に適当な数を入れなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である．また，$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\cos A=[　]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[　]$である．
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[　]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[　]$である．

$\mathrm{AB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(5)$(4)$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ．

$a,\ b$を実数，$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し，双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ．
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ．
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする．双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める．ただし，$d>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -2)$，$\mathrm{C}(5,\ 0)$があった．

(1)直線$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{C}$の距離を求めると$[チ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めると$[ツ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めると$[テ]$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$a$を実数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である．$a=[ウ]$のとき，$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である．このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり，内接円の半径は$[オ]$である．
(2)$k$を実数とし，$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく．曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である．直線$\ell$は，$k$の値によらず定点$([キ])$を通る．$k$の値の範囲が$[ク]$のとき，曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる．このとき，この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち，$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される．$k=-7$のとき，$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である．