実数$t$は$0 \leqq t<2\pi$を動くとし，点$\mathrm{P}(2 \cos t,\ 2 \sin t)$，点$\mathrm{Q}(-2 \sin t,\ 2 \cos t)$，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とおく．このとき$\mathrm{OP}=[ア]$で，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は$[イ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$が一直線に並ぶのは$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]} \pi$のときである．
(3)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積は$\displaystyle S(t)=[オ]-[カ] \sin \left( t+\frac{[キ]}{[ク]} \pi \right)$である．また$S(t)$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]} \pi$のとき最大値$[サ]$をとる．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=4,\quad \mathrm{DA}=5 \]
とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{CDA}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(4)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，面積比$\triangle \mathrm{ABP}:\triangle \mathrm{APD}$を求めよ．

$t$を正の実数とし，$3$点$\mathrm{A}(t,\ t,\ t)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が，正三角形であるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$t$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標を求めよ．
(3)平面$\mathrm{ABC}$上の六角形$\mathrm{ARBPCQ}$が正六角形となるような点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{AC}=3$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
(2)$r_1$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}=2$のとき，$\sin \angle \mathrm{ADC}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$における$3$つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$\sin A:\sin B:\sin C=7:5:3$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$60 \sqrt{3}$のとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を実数とし，$b>0$，$e>0$とする．座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ d,\ e)$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で作られる三角錐$\mathrm{OABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{OB},\quad \cos \angle \mathrm{OBA}=\frac{4}{5},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{OC}=9 \]
であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．さらに点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．さらに，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

平面上に三角形$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，$9 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．三角形$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1$，$S_2$，$S_3$とするとき，面積比を求めると$S_1:S_2:S_3=[$17$]$となる．

関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて，$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$，変曲点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．

次の問に答えよ．

(1)$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し，複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(\alpha\beta)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき，$|\beta|$を求めよ．

(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ．

(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$，$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ．さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

$3$つの直線$x+2y-4=0$，$2x-y-2=0$，$x-y+5=0$によって作られる三角形を考える．

(1)三角形の各頂点からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]},\ \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]} \right)$である．
(2)三角形の各辺からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$27$][$28$]}{[$29$][$30$]},\ \frac{[$31$][$32$]}{[$33$][$34$]} \right)$である．