「三角形」について
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国立 山形大学 2011年 第1問座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問四角形ABCDが円に内接しており，$\angle \text{ABC}=120^\circ,\ \text{AB}=2,\ \text{BC}=\sqrt{3}-1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$\text{CD}=a,\ \text{AD}=b$とおき，2つの対角線AC，BDの交点をOとする．
(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．
(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問座標空間内に2点A$(0,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ -1,\ 2)$があり，点P$(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第3問$xy$平面上の3点をO$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(3,\ 3)$とする．2点O，Aを通る放物線を$y=-ax^2+bx$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形が，$\triangle$OABに含まれるような，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形の面積が$\triangle$OABの面積の$\displaystyle \frac{1}{3}$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形が，$\triangle$OABに含まれるような，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形の面積が$\triangle$OABの面積の$\displaystyle \frac{1}{3}$となるとき，$a$の値を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2011年 第1問$xyz$空間に6点$\text{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\text{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\text{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\text{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\text{P}(\alpha,\ 0,\ \beta)$，$\text{Q}(-\alpha,\ 0,\ \beta)$が与えられている．ただし，$\alpha,\ \beta$は正の実数とする．
\[ \text{PB}=\text{PC}=\text{BC} \quad \text{かつ} \quad \text{PA}=\text{PD}=\text{PQ} \]
であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(2)点P$_0(\alpha,\ 0,\ 0)$を考える．Pから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとし，Pから直線ADに下ろした垂線と直線ADとの交点をKとする．このとき，2つの三角形$\triangle$HP$_0$Pと$\triangle$PP$_0$Kが相似であることを示せ．
\[ \text{PB}=\text{PC}=\text{BC} \quad \text{かつ} \quad \text{PA}=\text{PD}=\text{PQ} \]
であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(2)点P$_0(\alpha,\ 0,\ 0)$を考える．Pから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとし，Pから直線ADに下ろした垂線と直線ADとの交点をKとする．このとき，2つの三角形$\triangle$HP$_0$Pと$\triangle$PP$_0$Kが相似であることを示せ．
国立 宮崎大学 2011年 第4問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第5問Oを原点とする座標平面上に3点A$(1,\ 0)$，B$(1,\ 1)$，C$(0,\ c)$がある．ただし，$c$は正の定数とする．$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，線分AB，BCを$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれP，Qとする．ただし，例えば線分ABを$t:(1-t)$に内分する点は，$t=0$のときはA，$t=1$のときはBとする．$\triangle$OPQの面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．
(1)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．