「三角形」について
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国立 山口大学 2012年 第4問半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある．これらの中から相異なる3個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．
(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．
国立 宮城教育大学 2012年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$それぞれの中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$p$を$0<p<1$を満たす数として，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FD}$，$\mathrm{DE}$をそれぞれ$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$p$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が一直線上にあるときの$p$の値を求めよ．
(3)$p$が(2)で求めた値であるとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GH}}|^2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$p$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が一直線上にあるときの$p$の値を求めよ．
(3)$p$が(2)で求めた値であるとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GH}}|^2$を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第3問$a<b$とする．放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{B}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{D}(p,\ p^2)$における放物線$C$の接線を$\ell_3$とする．$\ell_1$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}$を求めなさい．
(3)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めなさい．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{D}(p,\ p^2)$における放物線$C$の接線を$\ell_3$とする．$\ell_1$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}$を求めなさい．
(3)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めなさい．
国立 防衛大学校 2012年 第2問平面上のベクトル$\overrightarrow{a_n}$，$\overrightarrow{b_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，$\overrightarrow{a_1}=(4,\ 0)$，$\overrightarrow{b_1}=(0,\ 4)$と関係式
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 防衛大学校 2012年 第3問座標平面上の$3$点$(0,\ 0)$，$(6,\ 0)$，$(0,\ 6)$を頂点とする三角形と$4$点$(0,\ t)$，$(0,\ t-4)$，$(4,\ t-4)$，$(4,\ t)$を頂点とする正方形の共通部分の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$2 \leqq t \leqq 6$とする．
(1)$S(2)$と$S(6)$の値を求めよ．
(2)$S(t)$を最大にする$t$の値と，$S(t)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$2 \leqq t \leqq 5$のとき，$S(t)=S(t+1)$をみたす$t$の値を求めよ．
(1)$S(2)$と$S(6)$の値を求めよ．
(2)$S(t)$を最大にする$t$の値と，$S(t)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$2 \leqq t \leqq 5$のとき，$S(t)=S(t+1)$をみたす$t$の値を求めよ．
国立 防衛大学校 2012年 第4問$\angle \mathrm{ACB}$が直角の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BD}=15$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第4問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．