数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{(3n+4)a_n-9n-6}{(n+1)a_n-3n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．

(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>3$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で定めた数列$\{b_n\}$に対し$c_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．

\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$|w|$を求めよ．
(2)複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3)数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする．このとき，複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．

数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$，公差$1$の等差数列とする．また，数列$\{a_n\}$を次の式で定める．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．

各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は

$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}$で表される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ．
(3)$2$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle\frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]