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国立 福井大学 2016年 第2問一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心と$\triangle \mathrm{OAB}$の重心は一致することを証明せよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心と$\triangle \mathrm{OAB}$の重心は一致することを証明せよ．
国立 福井大学 2016年 第3問一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき，$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき，$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である．
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり，方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である．
(4)$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である．
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である．
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり，方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である．
(4)$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
（$a,\ b$は定数）が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している．
ここで，$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し，このとき，$\mathrm{P}$を接点という．
このとき，$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$，$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である．また，$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
（$a,\ b$は定数）が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している．
ここで，$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し，このとき，$\mathrm{P}$を接点という．
このとき，$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$，$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である．また，$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である．
\end{mawarikomi}