$2$つの動点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，一辺の長さが$1$の立方体の辺上を，毎秒$1$の速さで，次の規則にしたがって移動する．


\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．

自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．


(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．

(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．

曲線$C_1:y=x^3-3x$と，$C_1$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動して得られる曲線$C_2$との交点の$x$座標は，$\displaystyle \frac{[ホ] \pm \sqrt{[マ]}}{[ミ]}$である．

$\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx=\frac{[ムメ]}{[モ]}(b-a)^3$を利用すると，$C_1$と$C_2$で囲まれる面積は，$\displaystyle \frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラ]}$である．

$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．

(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．