$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．

(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数）がある．

(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．

$p$を定数とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=pn^2-8pn+p+4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される．このとき，$p=[ホマ]$である．また，$\{a_n\}$の初項は$[ミム]$，公差は$[メモ]$であり，$S_n$は$n=[ヤ]$のとき最大となる．

三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．円$\mathrm{O}$と$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{H}$，円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AC}$との接点を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=5$のとき，以下の問に答えよ．

(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．

単位円上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を考える．動径$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta < 360^\circ)$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\theta=135^\circ$のとき
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]},\ \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \right) \]
である．
(2)$4y+3x$が最小となるとき，その値は$[ホマ]$であり，
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{[ミ]}{[ム]},\ -\frac{[メ]}{[モ]} \right) \]
である．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

等比数列$\{a_n\}$について，$a_{10}=40$，$\displaystyle a_{15}=\frac{5}{4}$であるとき，以下の問に答えよ．ただし，$a_n$はすべて実数である．

(1)公比は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(2)$\displaystyle \sum_{n=15}^{19}a_n=\frac{[ノハヒ]}{[フヘ]}$である．

(3)$a_n<10^{-3}$を満たす最小の$n$は，$n=[ホマ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$として計算せよ．

$xy$平面上に次に示す，$C$と$\ell$がある．
\[ \begin{array}{l}
C:y=|x^2-4| \\
\ell:y=2x+4
\end{array} \]
このとき以下の問に答えよ．

(1)$C$と$\ell$の交点は$x$座標の小さい順に
\[ ([ネノ],\ [ハ])$，$([ヒ],\ [フ])$，$([ヘ],\ [ホマ]) \]
である．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ミム]}{[メ]}$である．