「ヘホ」について
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私立 金沢工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
私立 東京理科大学 2014年 第3問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
$a,\ b,\ c$を実数とし，$P(x)=ax^2+bx+c$とする．
$\{P(x)\}^5-x$が$(x-1)(x-2)(x-3)$で割り切れるとき，
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left( 3^{\frac{\mkakko{ニ}}{\mkakko{ヌ}}}-2^{\frac{\mkakko{ネ}}{\mkakko{ノ}}}+[ハ] \right)$
(2)$\displaystyle b=-\frac{1}{2} \cdot 3^{\frac{\mkakko{ヒ}}{\mkakko{フ}}}+2^{\frac{[ヘホ]}{\mkakko{マ}}}-\frac{[ミ]}{[ム]}$
(3)$\displaystyle c=3^{\frac{\mkakko{メ}}{\mkakko{モ}}}-[ヤ] \cdot 2^{\frac{\mkakko{ユ}}{\mkakko{ヨ}}}+[ラ]$
である．
$a,\ b,\ c$を実数とし，$P(x)=ax^2+bx+c$とする．
$\{P(x)\}^5-x$が$(x-1)(x-2)(x-3)$で割り切れるとき，
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left( 3^{\frac{\mkakko{ニ}}{\mkakko{ヌ}}}-2^{\frac{\mkakko{ネ}}{\mkakko{ノ}}}+[ハ] \right)$
(2)$\displaystyle b=-\frac{1}{2} \cdot 3^{\frac{\mkakko{ヒ}}{\mkakko{フ}}}+2^{\frac{[ヘホ]}{\mkakko{マ}}}-\frac{[ミ]}{[ム]}$
(3)$\displaystyle c=3^{\frac{\mkakko{メ}}{\mkakko{モ}}}-[ヤ] \cdot 2^{\frac{\mkakko{ユ}}{\mkakko{ヨ}}}+[ラ]$
である．
私立 西南学院大学 2014年 第4問半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$，$\mathrm{BH}=3$，$\mathrm{CH}=2$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
私立 西南学院大学 2013年 第3問赤玉$5$個，白玉$7$個の合計$12$個の玉が入っている袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき，以下の問に答えよ．
(1)赤玉が$3$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(2)白玉が$2$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}$である．
(3)この袋に，さらに青玉を$3$個入れて合計$15$個にする．この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個は赤玉か青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ヒフ]}{[ヘホ]}$である．
(1)赤玉が$3$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(2)白玉が$2$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}$である．
(3)この袋に，さらに青玉を$3$個入れて合計$15$個にする．この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個は赤玉か青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ヒフ]}{[ヘホ]}$である．
私立 西南学院大学 2012年 第4問青いボールが$2$個，黄色いボールが$2$個，赤いボールが$3$個ある．これら$7$個のボールから$4$個を取り出すとき，以下の問に答えよ．ただし，ボールは，色の違いの他には区別がないものとする．
(1)$4$個を取り出す組合せは全部で$[ハ]$通りである．
(2)取り出した$4$個のボールを$2$個ずつに分けるとき，分け方は全部で$[ヒフ]$通りである．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$という箱がある．取り出した$4$個のボールをこれらの箱に$2$個ずつ入れるとき，入れ方は全部で$[ヘホ]$通りである．
(1)$4$個を取り出す組合せは全部で$[ハ]$通りである．
(2)取り出した$4$個のボールを$2$個ずつに分けるとき，分け方は全部で$[ヒフ]$通りである．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$という箱がある．取り出した$4$個のボールをこれらの箱に$2$個ずつ入れるとき，入れ方は全部で$[ヘホ]$通りである．
私立 西南学院大学 2010年 第4問$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は，
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．
(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．
(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．