$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数）がある．

(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．

数列$\{\beta_n\}$の階差数列が，初項$3$，公差$2$の等差数列であるとし，$\beta_1=1$とする．$2$次方程式
\[ x^2-a_nx+b_n=0 \]
の$2$つの解が$\beta_n,\ \beta_{n+1}$となるとき，次の問に答えよ．

(1)$b_2=[ナニ]$である．
(2)$a_9=[ヌネノ]$である．
(3)$x^2-a_nx+b_n$の最小値を$M_n$とすると，数列$\{M_n\}$の階差数列は，初項$[ハヒ]$，公差$[フヘ]$の等差数列となる．

三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．円$\mathrm{O}$と$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{H}$，円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AC}$との接点を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=5$のとき，以下の問に答えよ．

(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．

$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

等比数列$\{a_n\}$について，$a_{10}=40$，$\displaystyle a_{15}=\frac{5}{4}$であるとき，以下の問に答えよ．ただし，$a_n$はすべて実数である．

(1)公比は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(2)$\displaystyle \sum_{n=15}^{19}a_n=\frac{[ノハヒ]}{[フヘ]}$である．

(3)$a_n<10^{-3}$を満たす最小の$n$は，$n=[ホマ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$として計算せよ．