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玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$.

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で,$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である.

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である.このとき,$A$,$B$,$C$は,
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である.
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は,$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である.
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき,
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である.
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は,$x=[ハ]$のとき,最大値$[ヒフ]$をとり,$x=[ヘ]$のとき,最小値$[ホ]$をとる.
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき,


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2014年 第4問
半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$,$\mathrm{BH}=3$,$\mathrm{CH}=2$のとき,以下の値を求めよ.

(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$

(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
西南学院大学 私立 西南学院大学 2013年 第3問
赤玉$5$個,白玉$7$個の合計$12$個の玉が入っている袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき,以下の問に答えよ.

(1)赤玉が$3$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である.

(2)白玉が$2$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}$である.
(3)この袋に,さらに青玉を$3$個入れて合計$15$個にする.この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき,少なくとも$1$個は赤玉か青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ヒフ]}{[ヘホ]}$である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2013年 第4問
空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$,$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると,
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である.
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき,
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である.
(3)$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき,
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2013年 第4問
三角形$\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=7$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{CA}=3 \sqrt{2}$である.また,三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする.このとき,以下の内積を求めよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$
東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第3問
$3$次方程式$x^3-6x^2+ax+a=0$が異なる$3$つの実数解$u,\ v,\ w$をもち,
\[ (u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0 \]
が成り立っているとする.ただし$a$は実数とする.このとき$u,\ v,\ w$の間に成り立つ関係式と$a$の値は次の$3$通りである.

(1)$\displaystyle w=[ノ],\ u+v=[ハ],\ a=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$

(2)$\displaystyle v=[ホ],\ u+w=[マ],\ a=\frac{[ミム]}{[メ]}$

(3)$\displaystyle u=[モ],\ v+w=[ヤ],\ a=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$

ただし,必要ならば,一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$,$\beta$,$\gamma$とすると,
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
が成り立つことを用いてもよい.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2012年 第4問
青いボールが$2$個,黄色いボールが$2$個,赤いボールが$3$個ある.これら$7$個のボールから$4$個を取り出すとき,以下の問に答えよ.ただし,ボールは,色の違いの他には区別がないものとする.

(1)$4$個を取り出す組合せは全部で$[ハ]$通りである.
(2)取り出した$4$個のボールを$2$個ずつに分けるとき,分け方は全部で$[ヒフ]$通りである.
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$という箱がある.取り出した$4$個のボールをこれらの箱に$2$個ずつ入れるとき,入れ方は全部で$[ヘホ]$通りである.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2012年 第4問
以下の問に答えよ.

(1)関数$f(x)=2^2 \cdot 2^x+2^{-x}$の最小値は$[ハ]$である.
(2)関数$g(x)=16 \cdot 4^x+4^{-x}-40 \cdot 2^x-10 \cdot 2^{-x}+40$は,$x=[ヒフ]$または$[ヘ]$のとき最小値$[ホ]$をとる.ただし,$[ヒフ]<[ヘ]$である.
明治大学 私立 明治大学 2011年 第3問
次の連立不等式で表される領域$D$を考える.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい.

(1)$y$切片が$k$で,直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする.直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき,$k$のとる範囲は,
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である.
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく.$L$が最大となるのは,$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり,そのとき,$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2010年 第4問
$2$つの数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$は,
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される.このとき,次の問に答えよ.

(1)$a_3=-[ヒフ]$,$b_3=[ヘホ]$である.
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると,
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる.ただし,$[マ]<[ム]$である.

(3)一般項を求めると,
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる.
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「ヒフ」とは・・・

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