次の各問に答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は

$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は

$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$

$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$

と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，

$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

次の各問に答えよ．

(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．

次の各問の答えとして正しいものを選択肢から選びなさい．

(1)${10}^{-7} \times {10}^{-7}=[ア]$
\[ \nagamaruichi {10}^{14} \qquad \nagamaruni {10}^{-49} \qquad \nagamarusan {10}^{-14} \qquad \nagamarushi {10}^{49} \qquad \nagamarugo 10 \]
(2)$y={10}^{-x}$のグラフは$[イ]$である．
（図は省略）
(3)$\displaystyle y=\frac{Bx}{A+x}$（$A,\ B$は正の定数）において，$\displaystyle y=\frac{B}{2}$のときの$x$の値は，$[ウ]$である．
\[ \nagamaruichi B \qquad \nagamaruni A \qquad \nagamarusan \frac{A}{B} \qquad \nagamarushi \frac{B}{A} \qquad \nagamarugo AB \]
次の空所$[エ]$～$[テ]$を埋めよ．

(4)$\displaystyle \frac{-12}{(x+1)(x-3)}=\frac{[エ]}{x+1}+\frac{[オカ]}{x-3}$

(5)$\displaystyle \left( \sqrt{8}-\sqrt{\frac{4}{3}} \right) \left( \sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{18} \right)=[キク]-\sqrt{[ケ]}$
(6)$(4^{\frac{3}{2}})^{\frac{-4}{3}}=\frac{[コ]}{[サシ]}$
(7)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_2 6-\log_4 24=[スセ]$
(8)$(4x^2+5x-4) \div (x-2)=[ソ]x+[タチ]$，余り$[ツテ]$

さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{3a_n}{2n \cdot a_n+3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，$b_1=[ア]$，$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{[イ]}{[ウ]}n$が成り立つ．$\displaystyle a_{10}=\frac{[エ]}{[オカ]}$であり，$\displaystyle a_n<\frac{1}{50}$をみたす最小の$n$は$[キク]$である．
(2)平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，三角形$\mathrm{CEF}$の面積は平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$倍である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)初項$1$，公比$2$の等比数列の初項から第$10$項までの和は$\kakkofour{ア}{イ}{ウ}{エ}$である．
(2)直線$x+2y+3=0$に垂直で点$(1,\ 3)$を通る直線の傾きを$m$，$y$切片を$b$とするとき
\[ m=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(3)$2$次方程式$3x^2-(3 \sqrt{2}+2)x+3 \sqrt{2}-1=0$の解は
\[ x=[キ],\quad \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}-[コ]}{[サ]} \]
である．
(4)不等式$|2x-5| \leqq 4$の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(5)曲線$y=x^3$の$x=2$における接線は，$y=[タチ]x-[ツテ]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(2,\ 0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1)$のとき，
\[ |\overrightarrow{a}|=[ト],\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{[ナ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ニ] \]
である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．