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北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第1問
以下の問いの空欄$[ア]$~$[ケ]$に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

(1)$x$および$y$は実数とする.点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき,$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$,最小値は$[イ]$となる.
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える.この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると,円の半径$r$の値は$[ウ]$,正$12$角形の面積は$[エ]$である.
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある.タイルは長方形で,縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$,$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$,$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である.$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく,はみ出ないように貼り付けるとき,$[オ]$通りの貼り付け方が存在する.必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする.また,タイルは切断できないものとする.
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき,$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$,$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる.
(5)赤玉が$3$個,白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す.このとき,取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である.少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である.
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2013年 第1問
$2$辺の長さが$2 \, \mathrm{m}$と$10 \, \mathrm{m}$の長方形の壁に,$2$辺の長さが$1 \, \mathrm{m}$と$2 \, \mathrm{m}$の長方形のタイルを過不足なく敷き詰める.そのような並べ方は何通りあるか答えよ.
群馬大学 国立 群馬大学 2012年 第3問
$n$を自然数とし,縦が3,横が$2n$の長方形の盤上全体を,隣り合う2辺の長さが1と2の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき,その敷きつめ方の場合の数を$a_n$とする.そのうち左端に3つのタイルが接している場合の敷きつめ方の場合の数を$x_n$とし,それ以外の敷きつめ方の場合の数を$y_n$とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ.
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ.
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し,さらに$a_4$の値を求めよ.
獨協大学 私立 獨協大学 2012年 第1問
次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.

(1)${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$[$1$]$になる.
(2)$-1<a<0<b<c$とするとき,
\[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \]
の$5$つの数のうち,小さい方から$2$番目の数は$[$2$]$であり$4$番目の数は$[$3$]$である.
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに
\[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \]
の解をすべて記すと$[$4$]$である.
(4)$a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式
\[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \]
の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき,$a=[$5$]$,$b=[$6$]$であり,もう$1$つの解は$[$7$]$である.
(5)$\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{I}$,$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある.これらを横$1$列に並べるとき,$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で,かつ,$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$[$8$]$である.
(6)$a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は,$a$の値が$[$9$]$の場合には$3$個,$[$10$]$または$[$11$]$の場合には$2$個,$[$12$]$または$[$13$]$の場合には$1$個,それぞれ存在する.
(7)$\alpha$を実数として,空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$[$14$]$であり,このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[$15$]$である.
(8)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる.次に,点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$[$16$]$であり,$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$17$]$である.
(図は省略)
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