「コサシ」について
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私立 西南学院大学 2015年 第2問以下の問に答えよ．
(1)正$12$角形の辺と対角線の数を合わせると全部で$[クケ]$本ある．
(2)正$12$角形の辺と対角線を組み合わせてできる四角形は，全部で$[コサシ]$個である．
(3)円$C$に内接する正$12$角形がある．その正$12$角形の隣りあう$2$つの頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が円$C$に接しているとき，直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角は，${[スセ]}^\circ$である．ただし，$0^\circ \leqq {[スセ]}^\circ \leqq {90}^\circ$とする．
(1)正$12$角形の辺と対角線の数を合わせると全部で$[クケ]$本ある．
(2)正$12$角形の辺と対角線を組み合わせてできる四角形は，全部で$[コサシ]$個である．
(3)円$C$に内接する正$12$角形がある．その正$12$角形の隣りあう$2$つの頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が円$C$に接しているとき，直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角は，${[スセ]}^\circ$である．ただし，$0^\circ \leqq {[スセ]}^\circ \leqq {90}^\circ$とする．
私立 北海道薬科大学 2014年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．
(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．
(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．
私立 金沢工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
私立 西南学院大学 2014年 第2問正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．点$\mathrm{P}$は最初，頂点$\mathrm{A}$にあり，さいころを投げるたびに出た目の数だけ正五角形の頂点を反時計まわりに移動する．このとき，
(1)さいころを$1$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(3)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が初めて頂点$\mathrm{A}$に止まる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(1)さいころを$1$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(3)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が初めて頂点$\mathrm{A}$に止まる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
私立 松山大学 2014年 第2問次の空所$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．
赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．
(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．
赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．
(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．
私立 西南学院大学 2013年 第2問$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$があり，最初は原点にあるとする．$1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出たら点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ進め，その他の目が出たら負の方向に$1$だけ進めるものとする．以下の問に答えよ．
(1)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(2)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[コサシ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(3)さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(1)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(2)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[コサシ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(3)さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
私立 東北医科薬科大学 2013年 第3問さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．
(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．
(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．
(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．
私立 北海道薬科大学 2013年 第3問$2$点$\mathrm{A}(2,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を結ぶ直線$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を通る直線$\mathrm{OP}$がある．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると
$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$
となる．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると
$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$
となる．
私立 杏林大学 2012年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$と正の実数$p$に対して，$a_1=\log_4 (p \sin \theta)$，$a_2=\log_4 (\sin 2\theta)$，$a_3=\log_4 (\sin 3\theta)$とする．
(1)$a_1=a_2=a_3$となるのは，
\[ p=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\quad \theta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi \]
のときである．
(2)$3$つの数$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとする．このとき，
\[ p>\frac{[カ]}{[キ]} \]
となる．$p$をこの範囲で変化させたとき，$a_2+a_3$が最大となるのは，
\[ \cos^2 \theta=\frac{[クケ]+\sqrt{[コサシ]}}{[スセ]},\quad p=\frac{[ソ]+\sqrt{[コサシ]}}{[タチ]} \]
のときである．
(3)$p=2$で，$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項$a_1$および公差$d$は
\[ a_1=\frac{[ツ]}{[テ]},\quad d=\frac{[トナ]}{[ニ]} \]
である．この初項と公差を持つ等差数列$\{a_k\} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，極限値
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{2a_k} \]
を定義すると，$\alpha$は$2$次方程式
\[ x^2-[ヌ] x-[ネ]=0 \]
の解となっている．
(1)$a_1=a_2=a_3$となるのは，
\[ p=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\quad \theta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi \]
のときである．
(2)$3$つの数$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとする．このとき，
\[ p>\frac{[カ]}{[キ]} \]
となる．$p$をこの範囲で変化させたとき，$a_2+a_3$が最大となるのは，
\[ \cos^2 \theta=\frac{[クケ]+\sqrt{[コサシ]}}{[スセ]},\quad p=\frac{[ソ]+\sqrt{[コサシ]}}{[タチ]} \]
のときである．
(3)$p=2$で，$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項$a_1$および公差$d$は
\[ a_1=\frac{[ツ]}{[テ]},\quad d=\frac{[トナ]}{[ニ]} \]
である．この初項と公差を持つ等差数列$\{a_k\} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，極限値
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{2a_k} \]
を定義すると，$\alpha$は$2$次方程式
\[ x^2-[ヌ] x-[ネ]=0 \]
の解となっている．
私立 東北医科薬科大学 2010年 第2問さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．
(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．