$m,\ n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人を含む$5$人でじゃんけんを$1$回行う．$5$人の手（グー・チョキ・パー）の出し方の組み合わせは，同様に確からしいとする．

(i) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に「グー」で勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{a}$}$は正の数である．
(ii) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$} \mkakko{$\mathrm{g}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{e}$}$は正の数である．

(2)$5$人の男性と$5$人の女性で，$2$人のグループを$5$組つくる．

(i) グループのつくり方は，全部で$\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$}$通りある．
(ii) 組み合わせをクジで決めるとする．女性の入らない組が少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{k}$}$は正の数である．

男子$4$人，女子$4$人の合計$8$人のメンバーがいる．以下の問に答えよ．

(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある．
(2)くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である．

次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．

(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．

$6$人を$4$人と$2$人の$2$つのグループに分ける方法は$[　]$通りで，$6$人を$2$人ずつの$3$つのグループに分ける方法は$[　]$通りである．

$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．

(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．

$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．

(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．

$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．

(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．