正$n$角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \cdots \mathrm{P}_n$（$n$は$4$以上の整数）を$K$とする．$K$の頂点と各辺の中点の合計$2n$個の点から異なる$3$点を選び，それらを線分で結んでできる図形を$T$とする．（ただし，$K$の$1$つの頂点とそれに隣接する中点の一方を結ぶ線分を$1$辺とする三角形，例えば辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}_1$として，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{M}_1 \mathrm{P}_3$なども「$K$と辺を共有する三角形」とする．）

(1)$n=5$とする．
$T$が三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウエ]}$である．
$T$が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)$T$が三角形となる確率は
\[ \frac{[コ]n^2-[サ]n-[シ]}{[ス]([セ]n-[ソ])(n-[タ])} \]
である．
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は
\[ \frac{[チ]n^2-[ツテ]n+[トナ]}{([セ]n-[ソ])(n-[タ])} \]
である．

次の$[　]$にあてはまるものを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．

$3$次関数$f(x)$は$x=-1$と$x=-5$で極値をとり，$f(0)=14$，$f(1)=64$とする．

(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり，
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である．
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり，極小値は$[ソ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である．
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく．曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である．図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば，$a$の値は$[テト]$である．

次の各問に答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は

$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は

$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$

$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$

と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，

$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \sin x-\sin y=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{3}$のとき，$\cos (x-y)$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウエ]}$であり，$\cos (x+y)$の値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は，第$11$項が$20$で
\[ a_{n+1}=a_n-\frac{2}{3} \int_{a_n}^{a_{n+1}} (x-a_n)(x-a_{n+1}) \, dx \]
と
\[ a_1>a_2>\cdots >a_n>a_{n+1}>\cdots \]
を満たすものとする．初項は$[クケ]$であり，数列の和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は，$n=[コサ]$のとき，最大値$[シスセ]$をとる．

円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$（$a$は定数）は，$2$つの点で接している．

(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-3ax$（$a$は実数）が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値（$\alpha,\ \beta$は実数）をとるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．

次の関数を考える．

$f_1(x)=x$，$f_2(x)=x+1$，$f_3(x)=x-1$，$f_4(x)=x^2-1 (x \leqq 0)$，
$\displaystyle f_5(x)=\frac{1}{1-x}$，$\displaystyle f_6(x)=\frac{x}{1-x}$，$\displaystyle f_7(x)=\frac{x}{x+1}$，$\displaystyle f_8(x)=\sqrt{x+1}$，
$f_9(x)=-\sqrt{x+1}$

(1)${f_4}^{-1}(x)=f_{[ア]}(x)$であり，${f_6}^{-1}(x)=f_{[イ]}(x)$である．
(2)$(f_2 \circ f_3)(x)=f_{[ウ]}(x)$，$(f_3 \circ f_5)(x)=f_{[エ]}(x)$であり，
$(f_2 \circ f_{[エ]})(x)=f_{[オ]}(x)$である．
(3)合成関数$y=(f_6 \circ f_9)(x)$の定義域は$x \geqq [カキ]$であり，値域は$[クケ]<y \leqq [コ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{4} \right)$を通る$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{4}x^2$，$C_2:ax^2+by^2=1$（$a,\ b$は正の定数）を考える．点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1,\ C_2$の接線が直交するとき
\[ a=\frac{[ア]}{[イ]},\quad b=\frac{[ウエ]}{[オ]} \]
である．
(2)座標平面の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$\displaystyle C:(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{16}$上を動くとき，式
\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]
がとる最大値を$M$とすれば
\[ M=\frac{[カキ]}{[クケ]} \]
である．