はじめに，$4$枚の硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が，表が上の状態で置かれている．これらの硬貨に対して以下の試行を繰り返すものとする．


\mon[試行：] $4$枚の硬貨のうち，裏が上の硬貨はそのままにし，表が上の硬貨はすべて拾って同時に投げる．

ただし，すべての硬貨が，裏が上の場合も，$0$枚の硬貨を拾って投げるとみなして，試行を繰り返すものとする．以下の問いに答えよ．

(1)硬貨$\mathrm{A}$が$3$回目の試行の後に表が上である確率を求めよ．
(2)$3$回目の試行の後，硬貨$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は表が上で，かつ，硬貨$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$は裏が上である確率を求めよ．
(3)$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(4)$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚であった．このとき，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(5)$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚で，かつ，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(6)$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚であった．このとき，$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚である確率を求めよ．

$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．

はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．

戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．