以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし設問$(2)$の空欄$[え]$には選択肢より適切な数を選んで記入しなさい．

(1)定員$2$名，$3$名，$4$名の$3$つの部屋がある．

(i) $2$人の教員と$7$人の学生の合計$9$人をこれらの$3$つの部屋に定員どおりに入れる割り当て方は$[あ]$とおりである．また，その割り当て方のなかで$2$人の教員が異なる部屋に入るようにする割り当て方は$[い]$とおりである．
(ii) $7$人の学生のみを，これらの$3$つの部屋に定員を超えないように入れる割り当て方は$[う]$とおりである．ただし誰も入らない部屋があってもよい．

(2)二元一次不定方程式$13x+11y=c$は$c=[え]$のとき$x>0$，$y>0$なる整数解をちょうど$1$組もつ．そのときの解は$(x,\ y)=([お],\ [か])$である．
\begin{waku}[$[え]$の選択肢]
$222 \quad 223 \quad 224$
\end{waku}
(3)すべての実数$m$に対して
\[ f(m)=\int_0^1 |e^x-m|e^x \, dx \]
により定義される関数$f(m)$は，$m=[き]$において最小値$[く]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している．小円の半径は$4$寸，中円の半径は$9$寸であった．このとき，大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
（図は省略）
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている．今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると，弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
\end{mawarikomi}