$2$つのサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をふって出た目をそれぞれ$a,\ b$として次の式
\[ \left( ax^2+\frac{b}{x} \right)^5 \]
の展開式を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$x^4$の係数が$1080$であるとき，$a$および$b$の値を求めよ．
(2)$x^7$の係数よりも$\displaystyle \frac{1}{x^2}$の係数のほうが大きくなる確率を求めよ．

$6$つの数字$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3$を並べて$6$けたの数を作ることを考える．

(i) $0$がどのけたにあってもよいとすると，全部で$[カ][キ][ク]$通りの数ができる．
(ii) $0$が$6$けた目にある場合を除くと，全部で$[ケ][コ][サ]$通りの数ができる．

$xy$平面で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．点$\mathrm{P}$を次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が$1$または$2$のとき，$x$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$3$または$4$のとき，$y$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$5$または$6$のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$3$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 1)$である確率を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$5$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標を$(m,\ n)$とする．$m$と$n$がともに正で$m+n=3$である確率を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)サイコロを$n$回ふって出た目の数字を1列に並べる．隣り合う2つの数がすべて異なる確率$a_n$を求めよ．
(2)サイコロを$n$回ふって出た目の数字を円周上に並べる．隣り合う2つの数がすべて異なる確率を$b_n$とする．(1)の確率$a_n$を$b_n$と$b_{n-1}$を用いて表せ．
(3)(2)の確率$b_n$を求めよ．