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公立 公立はこだて未来大学 2013年 第5問$1$個のさいころを$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）投げたとき，$1$の目が出る回数が偶数となる確率を$p_n$，奇数となる確率を$q_n$とする．ただし，$0$は偶数に含まれるものとする．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(3)$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(3)$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
公立 宮城大学 2013年 第3問次の空欄$[ナ]$から$[ヘ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．
確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}
また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．
ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．
確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}
また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．
公立 釧路公立大学 2013年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{L}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$の$6$文字全部を横一列に並べるとき，$\mathrm{L}$が$\mathrm{D}$の左側にある並べ方の総数を求めよ．ただし，$\mathrm{L}$と$\mathrm{D}$の間に他の文字が入る場合も含む．
(2)$1$つのサイコロを$3$回続けて投げる．出た目の数を順に$a,\ b,\ c$とし，
\[ X=(a-1)(b-2)(c-3) \]
とする．以下の問に答えよ．
(i) $X=0$となる確率を求めよ．
(ii) $X>0$となる確率を求めよ．
(iii) $X>3$となる確率を求めよ．
(1)$\mathrm{L}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$の$6$文字全部を横一列に並べるとき，$\mathrm{L}$が$\mathrm{D}$の左側にある並べ方の総数を求めよ．ただし，$\mathrm{L}$と$\mathrm{D}$の間に他の文字が入る場合も含む．
(2)$1$つのサイコロを$3$回続けて投げる．出た目の数を順に$a,\ b,\ c$とし，
\[ X=(a-1)(b-2)(c-3) \]
とする．以下の問に答えよ．
(i) $X=0$となる確率を求めよ．
(ii) $X>0$となる確率を求めよ．
(iii) $X>3$となる確率を求めよ．
公立 札幌医科大学 2013年 第2問$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に$4$回投げ，底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とする．そして，座標平面上の$2$点を$\mathrm{P}_1(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{P}_2(-a_3,\ a_4)$とする．また，原点を$\mathrm{O}$と表す．
(1)点$\mathrm{P}_1$が直線$y=2x$上にあり，かつ点$\mathrm{P}_2$が直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$上にある確率を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が直角となる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が鋭角となる確率を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}_1$が直線$y=2x$上にあり，かつ点$\mathrm{P}_2$が直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$上にある確率を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が直角となる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が鋭角となる確率を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2013年 第5問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．頂点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに$1$動き，偶数の目が出たときは反時計回りに$2$動くという試行を繰り返し，再び頂点$\mathrm{A}$に戻ったとき試行を終了する．
(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．
(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．
公立 北九州市立大学 2013年 第4問ひとつのさいころを$3$回続けて投げて，出た目を順に$X,\ Y,\ Z$とする．また，$\displaystyle A=\frac{Y}{X}$，$\displaystyle B=\frac{X}{Y}$，$\displaystyle C=\frac{Y}{Z}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$A$のとりうる値のなかで，その値をとる確率が最も大きくなるような$A$の値を求めよ．
(2)$A$の期待値を求めよ．
(3)$A$と$B$の値がいずれも$2$以下である確率を求めよ．
(4)$B$と$C$の値がいずれも$1$未満である確率を求めよ．
(1)$A$のとりうる値のなかで，その値をとる確率が最も大きくなるような$A$の値を求めよ．
(2)$A$の期待値を求めよ．
(3)$A$と$B$の値がいずれも$2$以下である確率を求めよ．
(4)$B$と$C$の値がいずれも$1$未満である確率を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第9問大，小の$2$つのサイコロを同時になげ，大のサイコロの出た目を$a$，小のサイコロの出た目を$b$とする．このとき，$a+b<ab$となる確率を求めよ．
国立 一橋大学 2012年 第5問最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている．その後，4つの側面から1つの面を無作為に選び，その面が上面になるように置き直す操作を$n$回繰り返す．なお，サイコロの向かい合う面の目の数の和は7である．
(1)最後に1の目が上面にある確率を求めよ．
(2)最後に上面にある目の数の期待値を求めよ．
(1)最後に1の目が上面にある確率を求めよ．
(2)最後に上面にある目の数の期待値を求めよ．
国立 京都大学 2012年 第6問さいころを$n$回投げて出た目を順に$X_1,\ X_2,\cdots,\ X_n $とする．さらに
\[ Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k + \frac{1}{Y_{k-1}} \quad (k=2,\ \cdots,\ n) \]
によって$Y_1,\ Y_2,\cdots,\ Y_n$を定める．
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1+\sqrt{3} \]
となる確率$p_n$を求めよ．
\[ Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k + \frac{1}{Y_{k-1}} \quad (k=2,\ \cdots,\ n) \]
によって$Y_1,\ Y_2,\cdots,\ Y_n$を定める．
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1+\sqrt{3} \]
となる確率$p_n$を求めよ．
国立 大阪大学 2012年 第5問1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目を$\ell$，2回目に出る目を$m$，3回目に出る目を$n$で表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．
(1)極限値
\[ \lim_{x \to -1} \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
\[ f(x) = \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が，$x > -1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．
のとき，以下の同いに答えよ．
(1)極限値
\[ \lim_{x \to -1} \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
\[ f(x) = \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が，$x > -1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．