$x$の$2$次方程式$(*) x^2-2ax+2ab-b^2=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$(*)$は実数解のみをもつことを証明せよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて出た目の数を順に$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対して$(*)$を考え，

「$(*)$は符号の異なる$2$つの解をもつ」という事象を$A$，
「$(*)$の$2$つの解の差の絶対値は$6$以下である」という事象を$B$

とする．ただし，$(*)$が重解をもつときは$(*)$の$2$つの解の差は$0$と考える．このとき，事象$A,\ B$および和事象$A \cup B$の確率$P(A)$，$P(B)$および$P(A \cup B)$をそれぞれ求めよ．

$1$個のさいころを繰り返し投げて次のルールで持ち点を変えていく．

{\bf ルール}
$1,\ 2,\ 3$の目のどれかが出たとき，持ち点に$1$点を加える．
$4,\ 5$の目のどちらかが出たとき，持ち点に$2$点を加える．
$6$の目が出たとき，持ち点をすべて失い$0$点とする．

いま，はじめの持ち点は$0$点とする．

(1)さいころを$2$回投げたときの持ち点の期待値は$[ケ]$である．
(2)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$2$点以上となる確率は$[コ]$である．
(3)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$4$点となる確率は$[サ]$である．
(4)さいころを$n$回投げたとき持ち点が$0$でない偶数となる確率を$P_n$とする．$\displaystyle P_1=\frac{1}{3}$，$P_2=[シ]$である．また，$P_{n+1}$と$P_n$の間には$P_{n+1}=[ス]$という関係式が成り立つ．これより$P_n$を$n$を用いて表すと$P_n=[セ]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt[3]{a^4} \times a^4 \times \sqrt[6]{a^2} \div (a \sqrt[3]{a^2})=a^{[ナ][ニ]}$
(2)$\log_3 108-3 \log_9 4+2 \log_9 6=[ヌ][ネ]$
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数になる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{12}$である．
(4)等比数列$\{a_n\}$の第$3$項は$12$，第$6$項は$96$である．この数列の初項から第$n$項までの和が$765$になった．このとき$n=[ヒ][フ]$である．
(5)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(4,\ 2)$と$\overrightarrow{b}=(2 \sqrt{3}-1,\ 2+\sqrt{3})$のなす角は$[ヘ][ホ]^\circ$である．

次の$[　]$に答えを記入せよ．

(1)$2$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が整数になる確率は$[ア]$である．また，$3$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が$1$になる確率は$[イ]$である．
(2)座標平面で直線$y=3x$についての対称移動を$f$，原点を中心とした${60}^\circ$の回転移動を$g$とする．点$\mathrm{P}(2,\ -1)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$g$による像を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ウ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[エ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)関数$y=|x^2-2x|$のグラフと直線$y=x-1$の共有点の$x$座標は$[ウ]$と$[エ]$である．ただし，$[ウ]<[エ]$とする．
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$個の目がともに$5$となる確率は$[オ]$であり，少なくとも$1$個の目が$5$以上である確率は$[カ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$\displaystyle \int_0^2 (6x^2-2ax-a^2) \, dx \geqq 0$となるための必要十分条件は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)関数$y=|x^2-2x|$のグラフと直線$y=x-1$の共有点の$x$座標は$[ウ]$と$[エ]$である．ただし，$[ウ]<[エ]$とする．
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$個の目がともに$5$となる確率は$[オ]$であり，少なくとも$1$個の目が$5$以上である確率は$[カ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$\displaystyle \int_0^2 (6x^2-2ax-a^2) \, dx \geqq 0$となるための必要十分条件は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
-b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され，点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される．$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=[イ]$である．
(2)$3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある．この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=[ウ]$であり，$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，

$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2, (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たす．$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[オ]$である．$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=[カ]$である．
(4)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると，$y=[キ]$であり，$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると，$z=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$以下である確率は$[ケ]$であり，出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$[コ]$である．

大中小$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．また，これらを並べてできる$3$桁の整数$abc$を$n$とする．たとえば，$a=2$，$b=5$，$c=1$なら$n=251$である．

(1)$n$が偶数である確率を求めよ．
(2)$n$を$3$で割った余りが$2$である確率を求めよ．
(3)$n \geqq 325$である確率を求めよ．

平面上に$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．$4$つのサイコロ$\mathrm{S}_\mathrm{A}$，$\mathrm{S}_\mathrm{B}$，$\mathrm{S}_\mathrm{C}$，$\mathrm{S}_\mathrm{D}$を同時に投げて，出た目を，それぞれのサイコロに対応する点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に割り当てる．下の$3$つの図のそれぞれについて，次の（条件）が成り立つ確率を求めよ．
（図は省略）

（条件）図のどの線分についても，線分の両端の点には相異なる数が割り当てられている．