座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2) 直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3) 次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(ⅰ) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ⅱ) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(ⅲ) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4) $a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．