早稲田大学
2016年 スポーツ科学学部 第3問
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![2つの箱A，Bがあり，いずれの箱にも赤球が1個，白球が3個入っている．ここで，「それぞれの箱から1個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行をn回繰り返す．その結果，2つの箱A，Bがともに元の状態に戻っている確率をp_nとする．このとき，正の整数kに対して，p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k)となる．よって，p_n=\frac{[コ]}{7}(\frac{1}{[サ]})^n+\frac{[シ]}{7}(n≧1)となる．](./thumb/304/13/2016_3.png)
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$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，いずれの箱にも赤球が$1$個，白球が$3$個入っている．ここで，「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す．その結果，$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする．このとき，正の整数$k$に対して，
\[ p_{k+1}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}p_k+\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{\fbox{コ}}{7} \left( \frac{1}{\fbox{サ}} \right)^n+\frac{\fbox{シ}}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
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