早稲田大学
2015年 教育 第4問
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座標平面の第$1$象限に曲線$\displaystyle C_0:y=\frac{1}{x}+x \ \ (x>0)$と曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$がある．$C_0$上の点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a}+a \right)$における$C_0$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする．
(1) このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2) 接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3) 上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき， \[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \] が成り立つことを示せ．
(1) このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2) 接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3) 上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき， \[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \] が成り立つことを示せ．
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