$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．図で示すように，円$C_1$，$C_2$を以下の$\tokeiichi$～$\tokeishi$で定める．
(ⅰ) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ⅱ) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(ⅲ) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する． [$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1) 円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3) $(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ． \imgc{86_1824_2016_1}