筑波大学
2014年 理系 第5問
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実数を成分とする正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
について，以下の問いに答えよ．
(1) $AB=BA$を満たす$A$は，実数$x,\ y$を用いて$A=xB+yE$と表せることを示せ．
(2) $A^3=E$のとき \[ (t^2-\Delta)A=(t \Delta+1)E \] を示せ．ただし，$t=a+d$，$\Delta=ad-bc$とする．
(3) $AB=BA$かつ$A^3=E$を満たす$A$をすべて求めよ．
(1) $AB=BA$を満たす$A$は，実数$x,\ y$を用いて$A=xB+yE$と表せることを示せ．
(2) $A^3=E$のとき \[ (t^2-\Delta)A=(t \Delta+1)E \] を示せ．ただし，$t=a+d$，$\Delta=ad-bc$とする．
(3) $AB=BA$かつ$A^3=E$を満たす$A$をすべて求めよ．
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