筑波大学
2014年 理系 第2問
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$xy$平面上の曲線$C:y=x \sin x+\cos x-1 \ \ (0<x<\pi)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle 3<\pi<\frac{16}{5}$であることは証明なしで用いてよい．
(1) 曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ．
(2) 曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする．$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ．
(3) 曲線$C$，$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする．$S<T$であることを示せ．
(1) 曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ．
(2) 曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする．$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ．
(3) 曲線$C$，$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする．$S<T$であることを示せ．
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