$xy$平面において，点$\mathrm{P}$が単位円周上の$y \geqq 0$の部分を動くとき，点$\mathrm{P}$から単位円周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$までの距離の和$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$を$L$とする．以下，$L$の最大値を求める．点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$とおき，$L$を$\theta$の式で表すと，
$\displaystyle L=\sqrt{(\cos \theta-\fbox{ア})^2+\sin^2 \theta}+\sqrt{(\cos \theta+\fbox{イ})^2+\sin^2 \theta}$
\hfill $\displaystyle +\sqrt{\left( \cos \theta-\frac{1}{\fbox{ウ}} \right)^2+\left( \sin \theta-\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \right)^2}$
と表される．整理すると，たとえば，点$\mathrm{P}$が第$2$象限にあるとき， \[ L=\left( \fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}} \right) \sin \frac{\theta}{\fbox{ク}}+\cos \frac{\theta}{\fbox{ケ}} \] となり，適当な実数$\alpha$を用いて \[ L=\sqrt{\fbox{コ}+\fbox{サ} \sqrt{\fbox{シ}}} \sin \left( \frac{\theta}{\fbox{ス}}+\alpha \right) \] と表すことができる．よって，$L$の最大値は，$\sqrt{\fbox{セ}}+\sqrt{\fbox{ソ}}$である．ただし，$\fbox{セ}>\fbox{ソ}$とする．