富山県立大学
2014年 工学部 第2問
2
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$n$は正の整数とする．等式$\comb{n}{0}+\comb{n}{1}x+\comb{n}{2}x^2+\cdots +\comb{n}{n}x^n={(1+x)}^n$を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．
(1) $\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\cdots +{(-1)}^n \cdot \comb{n}{n}=0$
(2) $\comb{n}{1}+2 \cdot \comb{n}{2}+3 \cdot \comb{n}{3}+\cdots +n \cdot \comb{n}{n}=n \cdot 2^{n-1}$
(3) $\comb{n}{0}+2 \cdot \comb{n}{1}+3 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +(n+1) \cdot \comb{n}{n}=(n+2) \cdot 2^{n-1}$
(1) $\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\cdots +{(-1)}^n \cdot \comb{n}{n}=0$
(2) $\comb{n}{1}+2 \cdot \comb{n}{2}+3 \cdot \comb{n}{3}+\cdots +n \cdot \comb{n}{n}=n \cdot 2^{n-1}$
(3) $\comb{n}{0}+2 \cdot \comb{n}{1}+3 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +(n+1) \cdot \comb{n}{n}=(n+2) \cdot 2^{n-1}$
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