中心$\mathrm{O}$，半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている．$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ．ただし，$\ast$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1) $\theta$の動ける範囲は${\fbox{あい}}^\circ<\theta<{\fbox{うえ}}^\circ$である．
(2) $\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと， \[ \mathrm{AP}=\fbox{お} \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{\fbox{か}} \sin \theta+\fbox{$\ast$ き} \cos \theta \] となる．
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{く}}}{\fbox{け}}$である．
(4) $\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと， \[ S(\theta)=\frac{\fbox{こ}}{\fbox{さ}} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{\fbox{し}}}{\fbox{す}} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{\fbox{せ}}}{\fbox{そ}} \] となり，$S(\theta)$は$\theta={\fbox{たち}}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{つ}}}{\fbox{て}}$をとる．