$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする．$n$を$r$以上の自然数として，次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える．
(ⅰ) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである．
(ⅱ) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．
このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．
(1) $r=2$とする．
(ⅰ) $_2 \mathrm{S}_2=\fbox{ア}$，$_2 \mathrm{S}_3=\fbox{イ}$である．
一般に，$_2 \mathrm{S}_n={\fbox{ウ}}^n-\fbox{エ}$である．
(ⅱ) $f_2(2)=\fbox{オ}\fbox{カ}$，$f_2(3)=\fbox{キ}\fbox{ク}\fbox{ケ}$である．
一般に，$\displaystyle f_2(n)=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}({\fbox{シ}\fbox{ス}}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ．
(2) $r=3$とする．
(ⅰ) $_3 \mathrm{S}_n={\fbox{セ}}^n-\fbox{ソ} \cdot {\fbox{ウ}}^n+\fbox{タ}$である．
(ⅱ) $f_3(n)=\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}({\fbox{シ}\fbox{ス}}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ．
(3) $r=4$とする．
(ⅰ) $_4 \mathrm{S}_n={\fbox{テ}}^n-\fbox{ト} \cdot {\fbox{セ}}^n+\fbox{ナ} \cdot {\fbox{ウ}}^n-\fbox{ニ}$である．
(ⅱ) $f_4(n)=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}\fbox{ノ}}({\fbox{シ}\fbox{ス}}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ．