白，赤，黄，緑の$4$色に光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，$1$分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$，それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする．
(ⅰ) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ⅱ) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(ⅲ) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる． [$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．
$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．
(1) $\displaystyle P_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\ Q_2=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である．
(2) $P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，
$\displaystyle P_n=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \left( \fbox{キ}-{\left( -\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \left( \fbox{シ}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} {\left( -\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \right)}^{n-1} \right)$
である．