正の定数$a \ \ (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を \[ f(x)=ax(1-x) \] と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．
(1) 直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2) $S$を$a$を用いて表せ．
(3) 定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき， \[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \] を$a$の$1$次式で表せ．
(4) $\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．