東京大学
2014年 理系 第2問

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aを自然数(すなわち1以上の整数)の定数とする.白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して,次の操作(*)を考える.\mon[(*)]袋Uから球を1個取り出し,(i)取り出した球が白球のときは,袋Uの中身が白球a個,赤球1個となるようにする.(ii)取り出した球が赤球のときは,その球を袋Uへ戻すことなく,袋Uの中身はそのままにする.はじめに袋Uの中に,白球がa+2個,赤球が1個入っているとする.この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う.たとえば,1回目の操作で白球が出たとすると,袋Uの中身は白球a個,赤球1個となり,さらに2回目の操作で赤球が出たとすると,袋Uの中身は白球a個のみとなる.n回目に取り出した球が赤球である確率をp_nとする.ただし,袋Uの中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.(1)p_1,p_2を求めよ.(2)n≧3に対してp_nを求めよ.(3)\lim_{m→∞}1/mΣ_{n=1}^mp_nを求めよ.
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$a$を自然数(すなわち$1$以上の整数)の定数とする.白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して,次の操作$(\ast)$を考える.
[$(\ast)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し,
(ⅰ) 取り出した球が白球のときは,袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個,赤球$1$個となるようにする.
(ⅱ) 取り出した球が赤球のときは,その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく,袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする.

はじめに袋$\mathrm{U}$の中に,白球が$a+2$個,赤球が$1$個入っているとする.この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(\ast)$を繰り返し行う.
たとえば,$1$回目の操作で白球が出たとすると,袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個,赤球$1$個となり,さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると,袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる.
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする.ただし,袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.
(1) $p_1,\ p_2$を求めよ.
(2) $n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ.
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詳細情報

大学(出題年) 東京大学(2014)
文理 理系
大問 2
単元 極限(数学III)
タグ 自然数整数定数色の付いた玉操作取り出す中身確率個々不等号
難易度 未設定

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