$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1) 円$C$の中心$\mathrm{P}$は$(\fbox{ア},\ \fbox{イウ})$で半径は$\fbox{エ} \sqrt{\fbox{オ}}$である．
(2) 原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{カ}$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$\fbox{キ}$である（$\fbox{カ}<\fbox{キ}$）．
(3) 直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<\fbox{クケ}$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=\fbox{コサ}-\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}k$である．
(4) このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=\fbox{セソ}-\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=\fbox{ト} \sqrt{\fbox{ナ}}$のとき最大値$\fbox{ニヌ}$をとる．