埼玉大学
2015年 教育・経済学部 第2問
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四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．
(1) $\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行であるとき，等式 \[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \] が成り立つことを示せ．
(2) $\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行でないとき，等式 \[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \] が成り立つことを示せ．
(1) $\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行であるとき，等式 \[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \] が成り立つことを示せ．
(2) $\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行でないとき，等式 \[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \] が成り立つことを示せ．
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コメント（3件）
2015-08-04 06:11:53
作りました。図形の性質の範囲でも解けると思いますが、ベクトルで解答する受験生の方が多いと思うので解答はベクトルで作りました。 |
2015-07-26 11:36:37
解答をお願いします。 |
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2015-03-05 17:04:53
空間ベクトルの利用で証明可能です(CBC) |
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