室蘭工業大学
2011年 工学部 第2問
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正の整数$n$に対して，$\displaystyle S_n(x)=\int_0^x t^ne^{-t} \, dt$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) $S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ．
(2) $m$を正の整数とする．$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ．また，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ．
(3) 数学的帰納法を用いて，すべての正の整数$n$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ．
(1) $S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ．
(2) $m$を正の整数とする．$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ．また，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ．
(3) 数学的帰納法を用いて，すべての正の整数$n$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ．
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コメント（1件）
2016-01-24 12:13:29
室蘭工業大学2011年問2と問4の解答お願いします！ |
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