電気通信大学
2014年 理系 第3問
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次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2) 数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ．
(1) 不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2) 数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ．
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