島根大学
2010年 総合理工（数理・情報システム以外） 第2問
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自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3) $n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して， \[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \] とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3) $n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して， \[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \] とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
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