滋賀県立大学
2014年 環境科学部・工学部 第3問
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$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする）に対して，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．いま，
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．
(1) $PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2) $P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3) $A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4) $A^n=\alpha^n P+\beta^n Q \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(1) $PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2) $P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3) $A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4) $A^n=\alpha^n P+\beta^n Q \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
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