実数$a$に対し，行列$X(a)$を \[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc} 2a^2+1 & -a \\ -a & a^2+2 \end{array} \right) \] と定める．
(1) ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき \[ l_0 \leqq l_1 \] を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2) (1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を示せ．
(3) $a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．