$p$を$0 \leqq p \leqq 1$をみたす実数とする．$1$個の白玉と$3$個の赤玉が入っている袋があり，この袋から$1$個の玉を取り出して，取り出した玉に新たに白か赤の玉を$1$個加えて袋に戻す試行を行う．ただし，この試行の際に加えられる新たな玉の色は \begin{itemize}
確率$p$で取り出した玉と同じ色
確率$1-p$で取り出した玉と異なる色 \end{itemize} とする．
例えば，$p=1$の場合，第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第$1$回目の試行が終わったときには，袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている．
第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする．
(1) 第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．
(2) $q_{n+1}$を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．ただし$n+1$回目の試行において，$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で，$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率が$q_n$と等しいことを用いてよい．
(3) $\displaystyle r_n=q_n-\frac{1}{2}$とおくとき，$r_{n+1}$を$n,\ p,\ r_n$を用いて表せ．
(4) $p=0$，$\displaystyle p=\frac{1}{2}$，$p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．