埼玉大学
2016年 理学部 第3問
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2) $a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ. [(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい. [(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ. [(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2) $a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ. [(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい. [(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ. [(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
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